Астрономија

Дали орбиталните резонанции секогаш се формираат природно?

Дали орбиталните резонанции секогаш се формираат природно?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

На пример, ако фрлам две планети да кружат околу aвезда по случаен правец, дали тие би формирале орбитална резонанца?


Ако прашањето е „ако фрлам две планети да орбитираат околу aвезда по случаен правец, дали тие би формирале орбитална резонанца“. - тогаш воопшто, не. Резонанцата е интегрален сооднос (1/1, 2/1, 3/5, итн.) Помеѓу периодите на движење на предметите - т.е., односот на нивните периоди формира рационален број. Формално кажано, шансите да се добие интегрален сооднос (а камоли силен, сооднос со низок редослед, бидејќи тоа се динамички интересни) ако го поставите системот „случајно“, треба да биде бесконечно, бидејќи ирационалните броеви се (бесконечно) пообилни тоа рационално.

Меѓутоа, ако можат орбитите на едната или на двете планети промена со текот на времето, тогаш односот помеѓу нивните периоди се менува и тие може завршуваат во резонанца. (Кое е можеби одговарање на прашањето за насловот.) Колку често тоа ќе се случи зависи од тоа дали планетите ќе започнат близу силна резонанца и од тоа колку брзо се менуваат орбитите. (Ако орбитата на една планета се менува полека, тогаш таа нема да се среќава со нови резонанции многу често; од друга страна, брзата промена на орбитата може да го надмине ефектот на слаби резонанси, така што планетата ќе помине низ резонанцата без да биде фатена.)

На пример, се сметаше дека Нептун и Плутон првично не биле во резонанца; но постепената надворешна миграција на Нептун (поради различните гравитациони средби помеѓу планетисималите и џиновските планети) го смени својот орбитален период и значеше дека на крајот достигна резонанса од 2/3 со Плутон, а Плутон беше „фатен“ од резонанцата, по што остана во резонанца со Нептун.

Огромното мнозинство на предмети во Сончевиот систем се не во резонанца со што било друго, што е можеби уште еден начин да одговорите на вашето прашање. (Т.е., во пракса тоа не се случува многу често.)


Резонансите се клуч за дешифрирање како се формираат и еволуираат планетарните системи.

Ајде да им дадеме теоретичари. Со текот на годините тие создадоа импресивен список на пророчки прогнози, како што се вулкани на Io, неутронски starsвезди и космичка микробранова позадина. Но, во сферата на вонсончевите планети, тие скоро го промашија бродот.

Пред да се откријат првите планети околу другите solarвезди од сончевиот тип, во средината на 90-тите години, астрофизичарите кои симулираат формирање планети на компјутерите, разбиваат системи што личат на нашиве, со мали, карпести светови збиени близу до starвездата, а гасните гиганти се подалеку. Но, на нивна огорченост, планетарните моделири потполно не успеаја да ги предвидат двете класи што доминираат во 140 или толку познати егзопланети: „жешки јупитери“ (џиновски планети што се вртат околу нивните starsвезди домаќини на секои еден до пет дена) и побројните „ексцентрични планети“ (гасовити џиновски левиатани кои татнежат низ зони што можат да се живеат на издолжени орбити).

„Еден теоретичар ми призна дека не може да смисли ниту едно предвидување што тој и неговите колеги го направија за вонсончеви планети што е поткрепено со набудувања“, вели offефри В. Марси (Универзитет во Калифорнија, Беркли), чиј тим го откри мнозинство познати егзопланети.

Во нивна одбрана, теоретичарите веројатно биле точни во своите идеи за тоа како се формираат планети во дисковите на обемните larвезди од судир на планетисимали и акумулација на гасови (S & ampT: април 2003 година, страница 36). Но, досега пронајдената порака од егзопланетите е дека научниците изоставуваат клучна состојка, како мајстор готвач да остава парчиња јаболка од пита со јаболка. Откако ќе се формираат планети, тие не мора да кружат спокојно во нивните орбити на формирање како среќни кампери. Тие комуницираат гравитационо со нивните дискови, се повлекуваат едни со други и расфрлаат помали тела наваму и натаму. Со други зборови, планетарните системи еволуираат и таа еволуција е честопати насилна и хаотична.

Овие гравитациони влечења на војната предизвикуваат планетите да мигрираат далеку од зоните на нивното формирање. Најмалку среќните планети претрпуваат огнена смрт кога се фрлаат во нивните starsвезди-домаќини или се заглавуваат во тесни орбити на жешкиот Јупитер. Другите се исфрлени од системите целосно, во фригидните длабочини на меѓуerstвездениот простор. Дури и победниците на овие внатрешни конфликти, ексцентричните планети, имаат свои елегантни кружни орбити поделени во грди, проширени овали.

Но, кој од овие процеси преовладува? И, колку често мигрантските џиновски планети ќе направат хаос во близина на нивните матични starsвезди, каде би можеле да постојат живоносни планети? Важните траги се наоѓаат во 18-те познати вонсончеви повеќепланетарни системи, од кои секоја се состои од централна starвезда и најмалку две планети. Седум од овие системи покажуваат хармонични гравитациони односи познати како резонанси, што може да биде дел од планетарната сложувалка. Како што објаснува астрофизичарот Грегори П. Лофлин (Универзитет во Калифорнија, Санта Круз): „Јасното присуство на резонанца кај многу од повеќе-планетните системи доведува до многу поголем увид во механизмите за формирање и еволуција отколку кога е присутна само една планета. „

„Резонанца“ се однесува на широка класа на односи во кои еден предмет вознемирува периодично. Астрономите беа интимно запознаени со резонансите многу пред да се појават во егзопланетарните системи. Уште во средината на 1700-тите gazвездени ersвезди знаеја дека орбиталните периоди на месечините на Јупитер Ио (1,77 дена), Европа (3,55 дена) и Ганимед (7,16 дена) имаат сооднос 1: 2: 4. Во 20 век, астрономите сфатиле дека Нептун и Плутон се во резонанца од 3: 2, што значи дека Нептун три пати орбитира околу Сонцето, додека Плутон оди двапати. Различни резонанции изобилува со прстените и месечините на системот на Сатурн (S & ampT: Ноември 2004 година, страница 38).

Овие хармонични стапки сами по себе не докажуваат дека телата се во резонанца. Тоа е незапирливата рака на гравитација што внесува планети, месечини и помали тела во овие врски на чекор. Честичка прашина може да заобиколи Сонцето за една година, а друга за две години. Но, тоа не е резонанца бидејќи ниту честичките од прашина не се доволно масивни за да се спроведе фиксниот однос 2: 1. Во вистинска резонанца, барем еден силен предмет, како што е планетата, паси друго гравитационо тело. Плутон, на пример, поминува поголем дел од својата орбита далеку од Нептун, но Нептун е силно привлечен на само една од тие места каде што се приближуваат. Секогаш кога Плутон почнува да се повлекува или заостанува, цврстата гравитациска рака на Нептун делува за да ја врати синхронизацијата 3: 2.

Односите Нептун / Плутон и Јовијан-месечина се познати како резонанси на средно движење. Две или повеќе тела во овој вид резонанца имаат орбитални периоди чии долгорочни просеци можат да се изразат како однос на цели броеви. Предметите осцилираат околу овој фиксен сооднос како топка што се тркала напред и назад во корито. На пример, Плутон кружи околу Сонцето на секои 248,0 години во споредба со Нептун 163,7 години. Тој сооднос (1.512) е многу близу, но е малку поголем од 3: 2 (1.5). Неколку десетици илјади години од сега, односот може да биде нешто помал од 3: 2. Но, во текот на милијарди години, Плутон ќе го обиколи Сонцето точно два пати на секои три револуции на Нептун.

„Резонансите се чудна работа затоа што понекогаш тие се заштитни, а во други случаи се нарушувачки“, забележува Лофлин. Во 1866 година, американскиот астроном Даниел Кирквуд забележал дека астероидите се буквално отсутни во орбитите што се наоѓаат во 2: 1, 3: 1, 5: 2 и други цели броеви со 11,86-годишниот период на Јупитер. Во овие празнини на Кирквуд, се додаваат повторени влечења од Јупитер, испумпувајќи ја ексцентричноста на орбитите на астероидите. „Тоа е како да туркате дете на лулашка“, објаснува Лофлин. „Ако го турнете детето на висока точка на замав, ќе изградите поголема и поголема лулашка“. На крајот, астероидите имаат толку високи ексцентричности што ја преминуваат орбитата или на Јупитер или на Марс. Близок пристап кон Големиот брат го означува Големиот проблем: судир или исфрлање од Сончевиот систем.

Но, Јупитер обезбедува стабилност во другите региони, пасејќи тела во стрмни долини од кои е тешко да се искачи. Астероидите се собираат во тие орбити, кои се во 3: 2, 4: 3, 1: 1 и други резонанси со Јупитер. Во резонанцата 1: 1, на пример, илјадници тројански астероиди ја делат орбитата на Јупитер, но стадото 60 пред или зад огромната планета.

Врската што недостасува: синхроност

Астрономите не мораа да чекаат долго пред да сфатат дека резонансите играат клучна улога во обликувањето на архитектурата на егзопланетарните системи. Во јануари 2001 година, тимот на Марси објави втора планета што кружи околу Глизе 876, црвено џуџе во Водолија. Ова беше само втор познат вонсончев повеќепланетен систем околу нормална везда. Двете планети, кои имаат минимална маса од 0,56 и 1,89 Јупитери, кружат околу theвездата во благо ексцентрични орбити со периоди од 30,12, односно 61,02 дена. „Веднаш забележавме дека двете планети се во резонанца од 2: 1“, вели Марси. Компјутерски симулации од три групи - Логлин и Johnон Е. Чемберс (истражувачки центар НАСА / Ејмс), Евженио R. Ривера (институт Карнеги од Вашингтон) и Jackек L. Лисауер (истражувачки центар на НАСА / Ејмс) и Ман Хои Ли и Стентон Ј. Пил (и двајцата на Универзитетот во Калифорнија, Санта Барбара) - покажуваат дека планетите се цврсто заклучени во оваа резонанца на средно движење 2: 1, што е стабилна за милијарди години. Иако се чини дека шест други егзопланетарни системи покажуваат некаков вид на резонантна врска, никој не покажува толку убава хармонија. Покрај тоа, периодите на орбиталата се толку кратки што астрономите гледале како планетите комуницираат гравитационо во реално време, феномен претходно забележан само во Сончевиот систем и во трите планети кои кружат околу пулсарот B1257 + 12 (S & ampT: септември 2003 година, страница 18).

Иако односот на периоди не е точно 2: 1 денес, планетите на Глизе 876 осцилираат околу тој совршен однос како нишало, а секое замав трае девет години. Како Нептун и Плутон, ако периодот на едната планета оди малку понапред или позади, повторените влечења на другата планета ќе ја повлечат. "Ако можеме да погледнеме наназад во 5 милијарди годишната историја на Глизе 876, имало точно двојно повеќе орбити за внатрешното момче отколку за надворешното момче “, вели Лофлин.

Постојат еволутивни, како и динамички импликации. Само во најобична космичка случајност, две планети ќе се формираат во толку тесна резонанца од 2: 1, па дури и тоа не би објаснило зошто двете масивни планети се толку близу до нивната toвезда. Многу е поверојатно дека едната или двете планети мигрирале и дека гравитационите интеракции ги заклучиле во резонанцата. Теоретичарите се повикаа на миграција за да објаснат колку жешки јупитери како 51 планетата Пегаси завршуваат во орбитите на само неколку милиони километри од нивните starsвезди домаќини, бидејќи е тешко да се замисли да се формираат толку близу. Компјутерските симулации за формирање планети покажуваат дека ќе вози огромна планета спирално будење во неговиот обемен diskвезден диск. Гасот и прашината концентрирани во екот обично ја повлекуваат планетата наназад, предизвикувајќи таа да мигрира стабилно навнатре.

Иако астрономите никогаш не ја забележале ваквата миграција на дело, таа нуди најискрено и елегантно објаснување за тоа како планетите на Глизе 876 завршиле во нивната резонанца. „Интеракциите на планетата-дискот предизвикаа надворешната планета да мигрира навнатре, а можеби и на внатрешната планета да мигрира кон надвор“, вели Ли. „Сообразните орбити лесно може да резултираат во фаќање во резонанцата. Планетите би можеле да продолжат да мигрираат, но резонанцата го одржува односот 2: 1.

"Нашите модели специфично предвидуваа систем 2: 1 пред да се забележи. Многу други аспекти на неодамнешните откритија на планетата воопшто не беа предвидени од теоријата, па затоа е убаво да се добие едно право за промена", додава offефри Брајден (НАСА / авион за погон) Лабораторија), кој разви компјутерски симулации на еволуцијата на планетарниот систем со Даглас НЦ Лин (Универзитет во Калифорнија, Санта Круз) што дава механизам за фаќање 2: 1. Вилхелм Клеј (Универзитет во Тубинген, Германија) постигна слични резултати.

Тесната резонанца на Глизе 876 тврди дека е во прилог на бавната миграција и силно против можноста двете планети да се впуштат во жестока гравитациска војна. Таквите насилни интеракции би ги оставиле во повеќе ексцентрични орбити. И дури и ако планетите некако успееја да се сместат во резонанца од 2: 1, тие ќе покажат поголеми осцилации околу фиксниот сооднос, како лутало на нишалото.

Двете познати планети кои орбитираат околу starвездата слична на Сонцето HD 82943 во Хидра, исто така се заклучени во резонанца на средно движење 2: 1. Но, компјутерските симулации укажуваат на тоа дека резонанцата на HD 82943 не е толку тесна како на Gliese 876, а орбитите се значително поексцентрични. „Во Глизе 876, осцилациите околу вредноста 2: 1 се екстремно мали, а тој систем е длабоко во резонанца, додека системот HD 82943 само се врти со временска скала од околу еден век, екскурзиите се огромни“, - вели Лофлин.

Лофлин смета дека системот HD 82943 е резултат на три масивни планети кои работат сами до две. Поранешниот спазам на гравитациониот конфликт исфрли една од планетите, оставајќи двајца преживеани во многу ексцентрични резонантни орбити.

Двете средни планети во системот на четири-планети 55 Канкри се чини дека учествуваат во резонанца од 3: 1, иако набationsудувањата допрва треба точно да ги дефинираат орбитите. Ако резонанцата е потврдена, тоа ќе имплицира на бавно сценарио за миграција и зафаќање како што е замислено за Gliese 876.

Два неодамна откриени системи, исто така, покажуваат резонанца на средно движење. Со орбитални периоди од 454,2 и 919,1 дена, соодветно, двете познати планети што кружат околу starвездата од типот К0, HD 128311, покажуваат очигледна врска 2: 1. Starвездата од типот G HD 37124 има планети кои веројатно се во резонанца од 5: 1, со периоди од 31.085 и 154,66 дена. Двете планети сигурно мигрирале релативно бавно едни на други за да бидат заробени во толку разделени орбити.

Секуларните резонанции исто така играат важна улога во обликувањето на архитектурите на планетарните системи. „„ Секуларна “во овој контекст се однесува на неколку видови на долгорочни гравитациони интеракции помеѓу планетите што предизвикуваат промени во местото каде што се наоѓаат најблиску до нивната starвезда-домаќин или каде што се пресекуваат нивните орбитални рамнини. Во некои случаи, секуларната резонанца предизвикува долга оска на планетарни орбити да претходи со приближно иста брзина. Класичен пример за секуларна резонанца може да се најде во Упсилон Андромеда, кој засекогаш ќе биде запишан во историските книги како прв познат повеќепланетен систем околу starвезда од сончев тип, освен Сонцето.

Дебра Фишер (Државен универзитет во Сан Франциско), член на тимот на Марси, ги откри вторите и третите планети на Упсилон Андромеда во 1999 година - три години откако Марси и неговиот колега Р. Пол Батлер (Карнеги институт од Вашингтон) ја пронајдоа внатрешната планета, врела Јупитер. Надворешните две планети следат умерено ексцентрични орбити со периоди од 241,27 и 1,294,4 дена. Тимот на Марси брзо сфати дека долгите (главни) оски на обете планети се скоро порамнети, што значи најголемата оска во секоја елиптична орбита „покажува“ во иста насока. „Тоа беше прилично зачудувачки, но да бидам искрен, јас дури и не знаев каква е секуларната резонанца во тоа време“, се распрашува Марси.

Компјутерските симулации демонстрираат дека најголемите оски (или линиите на апсиди) на другите две планети веројатно се лулаат напред и назад за околу 30 [степени] во однос на имагинарната линија што ја дефинира просечната поставеност на двете елипсовидни орбити. И самите орбити преценираат (ротираат) за долги временски периоди.

Секуларната резонанца на Упсилон Андромеда е добра работа за средната планета, која има околу половина маса од надворешната. Без резонанца, гравитационите интеракции ќе ја зголемат ексцентричноста на двете планети. Нивните орбити на крајот би можеле да преминат, а надворешната планета ќе ја исфрли средната планета за време на блиска средба. Но, благодарение на резонанцата, ако ексцентричноста на едната планета почне да расте, ексцентричноста на другата ќе се распадне. Резонанцата ги спречува планетите премногу блиску да се приближуваат едни со други со што гравитационите интеракции се пригушуваат, стабилизирајќи го системот за долги скали.

Како и сите планети, и двете тела веројатно започнале во кружни орбити. Според Јуџин Чианг (Универзитет во Калифорнија, Беркли) и Норман В. Мареј (Универзитет во Торонто), надворешната планета интерактирала гравитационо со остаток на диск од гас, што ја исфрлил нејзината ексцентричност. Гравитационите интеракции помеѓу двете најоддалечени планети ја поклонија и средната во ексцентрична орбита, а меѓусебниот вртежен момент го принуди системот во апсидално порамнување. "Околу larвездениот диск ја обликуваше орбитата на надворешната планета. Надворешната планета, пак, ја изваја орбитата на средната планета", вели Чианг.

Како што е случајот со Глизе 876, резонанцата на Упсилон Андромеда дава поим дека младите планети гравитационо комуницираат со нивните дискови и дека не се случуваат секогаш насилни расејувања. Во Глизе 876, интеракцијата на дискот најверојатно ја насочи надворешната планета навнатре. Во Упсилон Андромеда, интеракцијата веројатно ја зголеми ексцентричноста на надворешната планета. Во секој случај, резонанцата го штити системот од целосна катастрофа.

Соодветните планетарни системи на Глизе 876 и ХД 128311 се чини дека се во секуларна резонанца што личат на Упсилон Андромеда. Во системот со двојна планета врзан за tyвездата Ktype, HD 12661, истражувањето на Ли и Пил сугерира секуларна резонанца во која линиите на апсиди се спротивставени. Ова значи дека во просек, секој е периастрон усогласен со апаастронот на другиот, иако тие осцилираат дури 55 [степени] во циклуси кои се повторуваат на секои 12 000 години.

Резонанси: Добри вести за живот

Останатите 11 познати вонсончеви повеќепланетни системи не покажуваат толку силни или очигледни резонанции. Во повеќето од овие хиерархиски системи, планетите имаат стапки на орбитален период поголеми од 5: 1, што значи дека телата се оддалечени премногу оддалечени за да се сместат во резонанца. Хиерархиските системи се чини дека се места каде што гравитационо-расејувачките катастрофи вклучуваат три или повеќе планети оставени зад себе силни конфигурации.

Спротивно на тоа, расејувањето не го наруши нашиот Сончев систем, веројатно затоа што надворешните планети останаа далеку едни од други. „Како конзервативен астроном, мразам да го кажувам ова затоа што сакам да останам близу до фактите“, вели Марси. "Но, можното толкување е дека ние не би биле тука за да разговараме за ова, ако нашиот планетарен систем има големи интеракции меѓу големите планети. Овие големи титани ќе ги расфрлаа сиромашните мали копнени планети до кралството."

Јасно е дека многу процеси работат на различни нивоа, создавајќи цела низа резултати во планетарните системи. Било која еволуција на системот зависи чувствително од почетните услови, така што ниту еден механизам нема да преовладува во секоја околност. Но, резонансите покажуваат дека релативно нежните процеси како што се миграција, резонантно зафаќање и стабилизација на орбитата играат главни улоги во тековната конструкција на некои планетарни системи. Certainивотот ќе има борбена шанса во одредени системи затоа што тие избегнуваат катастрофални настани.

Ако протопланетарниот диск треба да формира потенцијални носители на живот, треба да направи доволно планети за да понуди неколку можности за започнување на биологијата, но не може да формира премногу бегемови со маса на Јупитер. Гигантските планети исто така треба да бидат широко распоредени за да не се вознемируваат премногу силно и дискот мора да се распрсне пред влезните гасни гиганти да навлезат во зоната што може да се живее.

Никој не знае колку често се случува овој среќен пакет околности, бидејќи истражувањето на радијалната брзина на егзопланетата не барало доволно долго за да открие значителен број планети со маса Јупите во орбитите од 10 до 15 години. „Кој дел од Sunвездите слични на Сонцето имаат Јупитер кој наликува на нашиот сопствен Јупитер? ја прашува Марси. „Thisе одговориме на ова прашање во следните три до пет години. Ова ќе ни каже дали нашиот сончев систем е чудак или не“. Ако ловците на планети, како Марси, откријат релативно немирни јаглеродни копии на нашиот Сончев систем, можеби теоретичарите беа на вистинскиот пат.

Во текот на следните неколку години, ловците на планети ќе откријат нови резонантни егзопланетарни системи, па веројатно дури и нови видови на резонанца. Компјутерските симулации на Грегори П. Лофлин, на пример, сугерираат на постоење на два типа на системи со резонанца на средно движење 1: 1.

Првиот тип потсетува на тројанските астероиди, со две планети кои делат орбита, но разделени со 60 [степени], формирајќи рамностран триаголник со вездата. „Конфигурацијата е целосно стабилна“, вели Лофлин. „Можете да дистрибуирате 3 проценти од масата на Сонцето во таа конфигурација, така што ќе можете да имате една планета со маса од 30 Јупитер и Земја, две планети со маса од 15 Јупитер или 20 и 10. Резонанцата од 2: 1 е многу силен, но 1: 1 е уште посилен “. Со оглед на стабилноста на оваа конфигурација, Лофлин е уверен дека пребарувањата во егзопланетата на крајот ќе ги претворат овие типови на системи.

Другиот тип на систем 1: 1 е уште побизарен. Едната планета започнува со кружна орбита, а другата на елипсовидна орбита. Но, со текот на времето, двете планети разменуваат ексцентричност како врел компир. Односот на периодот на двете орбити може да се движи од 0,8 до 1,2, но тој осцилира околу просекот од 1: 1. Резонанцата спречува планети да се судрат. „Направивме експерименти каде вчитуваме системи со 10 до 12 планети и тие полудуваат“, вели Лофлин. "Планетите се исфрлени и имаат судири, и тие работат само до еден или двајца преживеани. Во незначителен дел од случаите, откривме системи кои завршија со двајца преживеани во точно ваква конфигурација. Има огромна семејство на системи што ќе го сторат ова “.


Астрономите ги потврдуваат орбиталните детали за најмалку разбраната планета TRAPPIST-1

Научниците со помош на вселенскиот телескоп Кеплер на НАСА идентификуваа редовна шема во орбитите на планетите во системот ТРАПИСТ-1 што потврдува сомнителни детали за орбитата на нејзината најоддалечена и најмалку разбрана планета, ТРАПИСТ-1ч.

Меѓународен тим на астрономи, вклучително и соработник за постдокторски истражувања на Универзитетот во Централен Ланкашир (UCLan), користеше податоци собрани од вселенскиот телескоп Кеплер за да ги набудува и потврди деталите за седмата егзопланета што кружи околу starвездата ТРАПИСТ-1.

Тие потврдија дека планетата, TRAPPIST-1h, кружи околу својата starвезда на секои 18,77 дена, е поврзана во нејзиниот орбитален пат со нејзините браќа и сестри и е ладно студена. Далеку од својата hostвезда домаќин, планетата е веројатно непогодна за живеење - но можеби не било секогаш така.

Ова најново истражување следи вести во февруари кога научниците објавија дека системот има седум планети со големина на Земјата. За откривање и карактеризирање на планетите биле користени вселенскиот телескоп Спицер на НАСА, ТРАППИСТ (Мал телескоп Транзитирани планети и планетиземили) во Чиле и други телескопи на земја. Но, соработката имаше само проценка за периодот на TRAPPIST-1ч.

& quot Новите податоци ни дозволија да ја измериме орбитата на најоддалечената планета, ТРАПИСТ-1 ч. Одредивме периодот на орбитата да биде 18,77 дена, што беше точно периодот што тимот го предвиде. & quot

TRAPPIST-1 е само осум проценти маса на нашето сонце, што го прави поладна и помалку светлосна starвезда. Во него се наоѓаат седум планети со големина на Земјата, од кои три орбитираат во зоната за живеење на нивната &везда и се протегаат на опсег од растојанија од liquidвезда каде течна вода може да се соедини на површината на карпестата планета. Системот се наоѓа оддалечен околу 40 светлосни години во соelвездието Водолија и се проценува дека е стар меѓу три милијарди и осум милијарди години.

Ова најново истражување TRAPPIST-1 е објавено во труд објавен во списанието Nature Astronomy. Д-р Даниел Холдсворт, соработник за постдокторски истражувања на Институтот за математика, физика и астрономија Jeеремаја Хорокс, е еден од европските научници вклучени во проектот и помогна да се утврди периодот на ротација на starвездата, преку анализа на дамки на stвездената површина .

Тој рече: "Анализиравме 79 дена на скоро континуирани податоци за системот TRAPPIST-1 добиени со вселенскиот телескоп Кеплер во неговата намена K2 конфигурација. Новите податоци ни дозволија да ја измериме орбитата на најоддалечената планета, TRAPPIST-1 h Одредивме периодот на орбитата да биде 18,77 дена, што беше точно периодот што тимот го предвиде. Исто така, откривме дека планетата е малку помала од Земјата, со просечна температура од -100 и ордC.

"Понатаму, откривме дека сите планети формираат комплексен ланец на орбитални резонанции, што значи дека тие комуницираат едни со други, ефективно се влечат и туркаат едни со други додека поминуваат. ТРАППИСТ-1 сега е рекорд за бројот на планети кои комуницираат вака, со претходниот рекорд четири планети. Ова е важно за теоријата на формирање на системот бидејќи овие интеракции веројатно биле присутни во раните фази на системот. Штом планетите се наоѓаат во овој резонантен ланец, тешко е да се избега, и затоа веројатно сите мигрираа кон нивната starвезда домаќин во исто време и останаа во овој сложен танц “.

& quot. Откривме дека периодот на ротација е околу 3,3 дена, што значи дека starвездата е на средна возраст, стара помеѓу три и осум Гир или стара три до осум милијарди години. & quot

„Податоците за К2 ни овозможија да ги измериме периодот на ротација и активноста на theвездата, чии резултати може да се искористат за да ни кажат колку години има theвездата. Откривме дека периодот на ротација е околу 3,3 дена, што значи дека starвездата е средно на возраст од три до осум години стар Гир или стар три до осум милијарди години. & rdquo

Истражувањето е финансирано од Институтот за астробиологија на НАСА преку Виртуелна планетарна лабораторија со седиште во УВ, како и Национална научна фондација, стипендија за дипломирани студенти, Швајцарската национална фондација за наука, Европскиот совет за истражување и Советот за објекти за наука и технологија на Велика Британија, меѓу другите агенции.


Астрономија без телескоп & # 8211 Секуларна еволуција

Традиционален модел на еволуција на галаксијата вели дека треба да започнете со спирални галаксии - кои можат да растат во димензии преку варење на помали џуџести галаксии - но во спротивно да ја задржат својата спирална форма релативно непречена. Само кога овие галаксии ќе се судрат со друга со слична големина, најпрво ќе добиете неправилна форма на „руина“, која на крајот ќе се смести во бесценета елиптична форма & # 8211 полна со starsвезди што следат случајни орбитални патеки отколку да се движат во истата тесна орбитална рамнина што ја гледаме во зарамнетиот галактички диск на спирална галаксија.

Концептот на еволуција на секуларната галаксија го оспорува овој поим - каде што „секуларно“ значи одвоено или изолирано. Теориите за секуларна еволуција предлагаат галаксиите природно да еволуираат по низата Хабл (од спирала до елипсовидна), без спојување или судири нужно предизвикуваат промени во нивната форма.

Иако е јасно дека галаксиите навистина се судираат - и потоа генерираат многу неправилни форми на галаксии што можеме да ги набудуваме & # 8211, може да се замисли дека формата на изолирана спирална галаксија може да еволуира кон елиптична галаксија во аморфен облик, доколку тие поседуваат механизам за пренесување аголна моментум нанадвор.

Зарамнетиот облик на дискот на стандардната спирална галаксија произлегува од спин - веројатно стекнат при првичното формирање. Спинот природно ќе предизвика агрегирана маса да донесе форма на диск - исто како што тестото за пица вртено во воздухот ќе формира диск. Зачувувањето на аголниот моментум бара формата на дискот да се одржи на неодредено време, освен ако галаксијата некако може да го изгуби вртењето. Ова може да се случи преку судир - или на друг начин со пренесување на масата, а со тоа и на аголниот момент, нанадвор. Ова е аналогно на вртејќи скејтери кои фрлаат раце нанадвор за да го забават вртењето.

Тука може да бидат значителни бранови на густина. Спиралните краци што обично се гледаат во галактичките дискови не се статични структури, туку бранови од густина што предизвикуваат привремено здружување на orвезди што кружат околу нив. Овие бранови на густина може да бидат резултат на орбитални резонанси генерирани меѓу одделните starsвезди на дискот.

Се претпоставува дека бранот на густина претставува удар без судир што има ефект на придушување на вртењето на дискот. Меѓутоа, бидејќи дискот сопира само по себе, аголниот момент треба да се зачува во рамките на овој изолиран систем.

Галактички диск има радиус на коротација & # 8211 точка каде starsвездите ротираат со иста орбитална брзина како што се врти бранот на густина (т.е. перципирана спирална рака). Во рамките на овој радиус, starsвездите се движат побрзо од бранот на густина & # 8211, додека надвор од радиусот, starsвездите се движат побавно од бранот на густина.

Ова може да претставува спирален облик на густиниот бран & # 8211, како и да понуди механизам за надворешно пренесување на аголниот момент. Во радиусот на коротација, starsвездите му даваат аголен моментум на бранот на густината додека го протуркаат & # 8211 и со тоа го туркаат бранот напред. Надвор од радиусот на коротација, бранот на густина се влече низ полето на побавно движечки starsвезди & # 8211 давајќи им аголен импулс како што тоа го прави.

Резултатот е дека надворешните starsвезди се спуштаат нанадвор кон региони каде што тие би можеле да усвојат повеќе случајни орбити & # 8211 отколку да бидат принудени да се усогласат со средната орбитална рамнина на галаксијата. На овој начин, цврсто врзаната спирална галаксија може постепено да се развива кон повеќе аморфна елиптична форма.


Кои се орбиталните резонанси и како се појавуваат тие?

Орбиталните резонанси се орбитални аналогни на резонантни вибрации во цврсти материи.

Замислете метален зрак да осцилира, постојано да се движи напред и назад. Ако секој пат кога се движи напред, му давате малку притисок, осцилацијата ќе стане поголема во амплитудата, акумулирајќи енергија. На крајот можеби повеќе нема да може да му одолее на напрегањето и да претрпи трајна деформација.

Во орбитата ефектите се многу слични. Ако секој пат кога астероид поминува низ даден дел од својата орбита, добива мало влечење, неговата орбитална енергија ќе се зголеми. Ова ќе доведе до поголема орбита (подалеку од централното тело што привлекува и поголема енергија на орбитата).

Ова може да се случи на пр. затоа што една планета со својата гравитација влијае на астероидот. Само ако нивните орбитални периоди имаат едноставен сооднос цел број, нарушувањата ќе се повторат, инаку ефектот нема да биде кумулативен (исто како металниот зрак, вие & # x27 не додавате постојано енергија ако не ја притискате секогаш на истиот дел од осцилацијата).

Ако орбитата акумулира премногу енергија, на крајот може да достигне брзина на бегство. Затоа & # x27, зошто повеќето орбитални резонанзи не се стабилни (а исто така и во овој случај тоа е & # x27 аналогно на вибрациите што предизвикуваат структурен колапс).

Има многу малку случаи на стабилни, само-корегирачки резонанции на орбитали. Those happen if two or more bodies exchange energy back and forth, so that the net energy gain of a single one over an extended period of time is close to zero. One such example is the Galilean moons.

If an orbit accumulates too much energy it may eventually reach escape speed. That's why most orbital resonances are not stable (and also in this case it's analogous to a vibration that causes a structural collapse).

This is not correct. The two bodies that are resonating happily exchange energy back and forth. In the orbital context, motion near a mean-motion resonance is well approximated by a pendulum (non-forced and frictionless). Once set in motion, it will contentedly swing.

Resonances will be destabilizing only if there are multiple resonances overlapping with each other, or if over the course of a resonance cycle a body's eccentricity will get large enough to enable a close encounter with some other body.

When two things are in mean-motion resonance (MMR), the ratio of their periods is close to a small integer ratio (2/1, 3/2, 5/3, etc). (Something's "mean motion" is its mean angular speed, proportional to 1/period.) What this means physically is that the two bodies will pass each other (line up) at the same location(s) repeatedly. Watch this gif of the orbital motions of Io, Europa, and Ganymede, which are in a 4:2:1 resonance.

In reality, two bodies won't be точно at resonance, but will oscillate around exact resonance. Take a look at this picture which shows the location of Pluto relative to Neptune's location over many orbits. If Pluto and Neptune were exactly in resonance, Pluto would come to perihelion (closest approach) at exactly two spots in that picture, exactly 90 degrees ahead of Neptune and 90 degrees behind Neptune. Instead, Pluto's perihelion oscillates around those two locations. If this oscillation of Pluto's perihelion was too big, it would experience a close encounter with Neptune. As it is, Neptune is never close by when Pluto is at perihelion. This is an example of a stable resonant interaction.

In the Asteroid Belt, resonances are typically destabilizing because the mean-motion resonances overlap with secular resonances or other mean-motion resonances , resulting in the Kirkwood gaps. (A planetary system will have several natural frequencies, the 'secular' frequencies. These are the frequencies at which the planets' eccentricities and inclinations will vary. If a small body's orbit is precessing at the same rate as one of these frequencies, this is a secular resonance.) Overlapping resonances causes chaotic variation of the orbit, and ultimately destabilization.

EDIT: As for how resonances come to be: Planets (and other bodies: moons, asteroids, etc) can migrate. In particular, their periods can change under the influence of torques from the disk in which they are forming or tides.


Орбитална механика

Ćuk has made a career of studying the orbits of natural satellites, including asteroids and moons in the Solar System. He won a prestigious award in 2014 for his mastery of planetary dynamics, including the concept of orbital resonance, which explains how objects in orbit around another object sometimes exert a gravitational influence on one another.

This happens all over the Solar System. Most famously, Pluto and Neptune have an orbital resonance of 2:3, meaning that Pluto completes two orbits during the same amount of time that Neptune completes three. In this case, Pluto, the smaller object, has its orbit driven by Neptune. Some resonances are stable and others are unstable, even to the point where a body can be kicked out of the Solar System.

Orbital resonances becomes quite a bit more complicated with a very large planet and a sprawling system of more than five dozen moons. One might think that the moons of Saturn would, over time, fall into more elongated orbits or get knocked out of their orbital planes due to unstable resonances. But when one looks at the inner moons of Saturn, those inside the orbit of Titan, the planet’s satellites are found to be in relatively good order. They question is, should they be?

Saturn is a gas giant, of course. The gases at its surface and more exotic types of matter in its interior collectively act as a fluid. Because there are all these moons orbiting around Saturn, most of them in a plane, they exert a gravitational pull on the planet. It's therefore a bit egg shaped as it flexes, there is some friction, which causes the rotation of Saturn to slow down slightly. The tidal forces, in turn, cause the moons to slowly move away.


Spiral Galaxies Might Evolve into Elliptical Ones Naturally

A theory related to how galaxies evolve over the course of their lifespan in currently gaining increased support from the international astronomical community. Its premises challenge those of the most commonly-accepted theories of what evolutionary path spiral galaxies take.

One of the most &ldquotraditional&rdquo galaxy evolution models holds that spiral galaxies retain their trademark shape unless influenced from the outside. These influences can be vary widely.

For example, it is known that spiral galaxies grow in size and mass as they accrete dwarf galaxies. This is how the Milky Way grew to its current size. But what happens when two spiral galaxies collide?

In 3 to 4 billion years, the Milky Way will collide with Andromeda, which is a spiral galaxy of similar mass and size. Chances are high that the merger will produce a massive elliptical galaxy.

With the featureless elliptical form, many things will change. Stars and solar systems will no longer follow a narrow orbital plane as they currently do but will rather have hectic, chaotic orbits.

Therefore, according to this model, this is the only way a spiral galaxy can turn into an elliptical. But the new theory, called secular galaxy evolution, challenges this belief, Universe Today reports.

In this particular context, the term secular means separate, or isolated, and is used to denote the fact that spiral galaxies naturally evolve into ellipticals, without having to undergo mergers or collisions.

This transition is known among specialists as the Hubble sequence. What the new theory says is basically that the Hubble sequence needs no external influences to take place.

One of the basic concepts in the new proposal is the fact that spiral galaxies contain within a mechanism that enables them to transfer angular momentum outwards. What still remains to be established is whether spiral galaxies evolve or degenerate into elliptical ones.

Celestial mechanics seems to indicate that spirals develop their flattened disks and central bulge due to the fact that they spin. The rotation motion was probably imprinted to the entire structure in the earliest stages of its formation.

But the principle of conservation of angular momentum holds that spin will always be preserved. Still, experts now say, it could be that collisions, mergers and other such events might cause spiral galaxies to lose their angular momentum.

The spiral arms, which are actually density waves, may play a critical role in this process. One interesting theory holds that galactic arms are formed by the orbital resonances generated amongst the individual stars of the disk.

As enough momentum is transferred outwards, spirals might gradually come to a halt. The disk would disappear, and be replaced by an amorphous, non-defined mass of hectic star systems. In all respects, the result would be an elliptical galaxy.


Standing Waves

Maybe you've noticed or maybe you haven't. Sometimes when you vibrate a string, or cord, or chain, or cable it's possible to get it to vibrate in a manner such that you're generating a wave, but the wave doesn't propagate. It just sits there vibrating up and down in place. Such a wave is called a and must be seen to be appreciated.

I first discovered standing waves (or I first remember seeing them) while playing around with a phone cord. If you shake the phone cord in just the right manner it's possible to make a wave that appears to stand still. If you shake the phone cord in any other way you'll get a wave that behaves like all the other waves described in this chapter waves that propagate — . Traveling waves have high points called crests and low points called troughs (in the transverse case) or compressed points called compressions and stretched points called rarefactions (in the longitudinal case) that travel through the medium. Standing waves don't go anywhere, but they do have regions where the disturbance of the wave is quite small, almost zero. These locations are called . There are also regions where the disturbance is quite intense, greater than anywhere else in the medium, called .

Standing waves can form under a variety of conditions, but they are easily demonstrated in a medium which is finite or bounded. A phone cord begins at the base and ends at the handset. (Or is it the other way around?) Other simple examples of finite media are a guitar string (it runs from fret to bridge), a drum head (it's bounded by the rim), the air in a room (it's bounded by the walls), the water in Lake Michigan (it's bounded by the shores), or the surface of the Earth (although not bounded, the surface of the Earth is finite). In general, standing waves can be produced by any two identical waves traveling in opposite directions that have the right wavelength. In a bounded medium, standing waves occur when a wave with the correct wavelength meets its reflection. The interference of these two waves produces a resultant wave that does not appear to move.

Standing waves don't form under just any circumstances. They require that energy be fed into a system at an appropriate frequency. That is, when the applied to a system equals its . This condition is known as . Standing waves are always associated with resonance. Resonance can be identified by a dramatic increase in amplitude of the resultant vibrations. Compared to traveling waves with the same amplitude, producing standing waves is relatively effortless. In the case of the telephone cord, small motions in the hand result will result in much larger motions of the telephone cord.

Any system in which standing waves can form has numerous natural frequencies. The set of all possible standing waves are known as the of a system. The simplest of the harmonics is called the or first harmonic. Subsequent standing waves are called the second harmonic, third harmonic, etc. The harmonics above the fundamental, especially in music theory, are sometimes also called . What wavelengths will form standing waves in a simple, one-dimensional system? There are three simple cases.

One dimension: two fixed ends

If a medium is bounded such that its opposite ends can be considered fixed, nodes will then be found at the ends. The simplest standing wave that can form under these circumstances has one antinode in the middle. This is half a wavelength. To make the next possible standing wave, place a node in the center. We now have one whole wavelength. To make the third possible standing wave, divide the length into thirds by adding another node. This gives us one and a half wavelengths. It should become obvious that to continue all that is needed is to keep adding nodes, dividing the medium into fourths, then fifths, sixths, etc. There are an infinite number of harmonics for this system, but no matter how many times we divide the medium up, we always get a whole number of half wavelengths ( 1 2 λ, 2 2 λ, 3 2 λ, …, н 2 λ).

There are important relations among the harmonics themselves in this sequence. The wavelengths of the harmonics are simple fractions of the fundamental wavelength. If the fundamental wavelength were 1 m the wavelength of the second harmonic would be 1 2 m, the third harmonic would be 1 3 m, the fourth 1 4 m, and so on. Since frequency is inversely proportional to wavelength, the frequencies are also related. The frequencies of the harmonics are whole-number multiples of the fundamental frequency. If the fundamental frequency were 1 Hz the frequency of the second harmonic would be 2 Hz, the third harmonic would be 3 Hz, the fourth 4 Hz, and so on.

One dimension: two free ends

If a medium is bounded such that its opposite ends can be considered free, antinodes will then be found at the ends. The simplest standing wave that can form under these circumstances has one node in the middle. This is half a wavelength. To make the next possible standing wave, place another antinode in the center. We now have one whole wavelength. To make the third possible standing wave, divide the length into thirds by adding another antinode. This gives us one and a half wavelengths. It should become obvious that we will get the same relationships for the standing waves formed between two free ends that we have for two fixed ends. The only difference is that the nodes have been replaced with antinodes and vice versa. Thus when standing waves form in a linear medium that has two free ends a whole number of half wavelengths fit inside the medium and the overtones are whole number multiples of the fundamental frequency

One dimension: one fixed end — one free end

When the medium has one fixed end and one free end the situation changes in an interesting way. A node will always form at the fixed end while an antinode will always form at the free end. The simplest standing wave that can form under these circumstances is one-quarter wavelength long. To make the next possible standing wave add both a node and an antinode, dividing the drawing up into thirds. We now have three-quarters of a wavelength. Repeating this procedure we get five-quarters of a wavelength, then seven-quarters, etc. In this arrangement, there are always an odd number of quarter wavelengths present. Thus the wavelengths of the harmonics are always fractional multiples of the fundamental wavelength with an odd number in the denominator. Likewise, the frequencies of the harmonics are always odd multiples of the fundamental frequency.

The three cases above show that, although not all frequencies will result in standing waves, a simple, one-dimensional system possesses an infinite number of natural frequencies that will. It also shows that these frequencies are simple multiples of some fundamental frequency. For any real-world system, however, the higher frequency standing waves are difficult if not impossible to produce. Tuning forks, for example, vibrate strongly at the fundamental frequency, very little at the second harmonic, and effectively not at all at the higher harmonics.

Filtering

The best part of a standing wave is not that it appears to stand still, but that the amplitude of a standing wave is much larger that the amplitude of the disturbance driving it. It seems like getting something for nothing. Put a little bit of energy in at the right rate and watch it accumulate into something with a lot of energy. This ability to amplify a wave of one particular frequency over those of any other frequency has numerous applications.

  • Basically, all non-digital musical instruments work directly on this principle. What gets put into a musical instrument is vibrations or waves covering a spread of frequencies (for brass, it's the buzzing of the lips for reeds, it's the raucous squawk of the reed for percussion, it's the relatively indiscriminate pounding for strings, it's plucking or scraping for flutes and organ pipes, it's blowing induced turbulence). What gets amplified is the fundamental frequency plus its multiples. These frequencies are louder than the rest and are heard. All the other frequencies keep their original amplitudes while some are even de-amplified. These other frequencies are quieter in comparison and are not heard.
  • You don't need a musical instrument to illustrate this principle. Cup your hands together loosely and hold them next to your ear forming a little chamber. You will notice that one frequency gets amplified out of the background noise in the space around you. Vary the size and shape of this chamber. The amplified pitch changes in response. This is what people hear when the hold a seashell up to their ears. It's not "the ocean" but a few select frequencies amplified out of the noise that always surrounds us.
  • During speech, human vocal cords tend to vibrate within a much smaller range that they would while singing. How is it then possible to distinguish the sound of one vowel from another? English is not a tonal language (unlike Chinese and many African languages). There is little difference in the fundamental frequency of the vocal cords for English speakers during a declarative sentence. (Interrogative sentences rise in pitch near the end. Don't they?) Vocal cords don't vibrate with just one frequency, but with all the harmonic frequencies. Different arrangements of the parts of the mouth (teeth, lips, front and back of tongue, etc.) favor different harmonics in a complicated manner. This amplifies some of the frequencies and de-amplifies others. This makes "EE" sound like "EE" and "OO" sound like "OO".
  • The filtering effect of resonance is not always useful or beneficial. People that work around machinery are exposed to a variety of frequencies. (This is what is.) Due to resonance in the ear canal, sounds near 4000 Hz are amplified and are thus louder than the other sounds entering the ear. Everyone should know that loud sounds can damage one's hearing. What everyone may not know is that exposure to loud sounds of just one frequency will damage one's hearing at that frequency. People exposed to noise are often experience 4000 Hz hearing loss. Those afflicted with this condition do not hear sounds near this frequency with the same acuity that unafflicted people do. It is often a precursor to more serious forms of hearing loss.

Two dimensions

The type of reasoning used in the discussion so far can also be applied to two-dimensional and three-dimensional systems. As you would expect, the descriptions are a bit more complex. Standing waves in two dimensions have numerous applications in music. A circular drum head is a reasonably simple system on which standing waves can be studied. Instead of having nodes at opposite ends, as was the case for guitar and piano strings, the entire rim of the drum is a node. Other nodes are straight lines and circles. The harmonic frequencies are not simple multiples of the fundamental frequency.

The diagram above shows six simple modes of vibration in a circular drum head. The plus and minus signs show the phase of the antinodes at a particular instant. The numbers follow the (D, C) naming scheme, where D is the number of nodal diameters and C is the number of nodal circumferences.

Standing waves in two dimensions have been applied extensively to the study of violin bodies. Violins manufactured by the Italian violin maker Antonio Stradivari (1644–1737) are renowned for their clarity of tone over a wide dynamic range. Acoustic physicists have been working on reproducing violins equal in quality to those produced by Stradivarius for quite some time. One technique developed by the German physicist Ernst Chladni (1756–1794) involves spreading grains of fine sand on a plate from a dismantled violin that is then clamped and set vibrating with a bow. The sand grains bounce away from the lively antinodes and accumulate at the quiet nodes. The resulting from different violins could then be compared. Presumably, the patterns from better sounding violins would be similar in some way. Through trial and error, a violin designer should be able to produce components whose behavior mimicked those of the legendary master. This is, of course, just one factor in the design of a violin.

Chladni patterns on violin plates in order of increasing frequency Source: Joe Wolf, University of New South Wales
91 Hz 145 Hz 170 Hz 384 Hz

Three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional). In the two-dimensional case the nodes were curves (one-dimensional). The dimension of the nodes is always one less than the dimension of the system. Thus, in a three-dimensional system the nodes would be two-dimensional surfaces. The most important example of standing waves in three dimensions are the orbitals of an electron in an atom. On the atomic scale, it is usually more appropriate to describe the electron as a wave than as a particle. The square of an electron's wave equation gives the probability function for locating the electron in any particular region. The orbitals used by chemists describe the shape of the region where there is a high probability of finding a particular electron. Electrons are confined to the space surrounding a nucleus in much the same manner that the waves in a guitar string are constrained within the string. The constraint of a string in a guitar forces the string to vibrate with specific frequencies. Likewise, an electron can only vibrate with specific frequencies. In the case of an electron, these frequencies are called and the states associated with these frequencies are called or . The set of all eigenfunctions for an electron form a mathematical set called the . There are an infinite number of these spherical harmonics, but they are specific and . That is, there are no in-between states. Thus an atomic electron can only absorb and emit energy in specific in small packets called . It does this by making a from one eigenstate to another. This term has been perverted in popular culture to mean any sudden, large change. In physics, quite the opposite is true. A quantum leap is the smallest possible change of system, not the largest.

Some probability densities for electrons in a hydrogen atom
|1,0,0⟩
|2,0,0⟩ |2,1,0⟩ |2,1,1⟩
|3,0,0⟩ |3,1,0⟩ |3,1,1⟩ |3,2,0⟩ |3,2,1⟩ |3,2,2⟩

Математика

In mathematics, the infinite sequence of fractions 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … is called the . Surprisingly, there are exactly the same number of harmonics described by the harmonic sequence as there are harmonics described by the "odds only" sequence: 1 1 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , …. "What? Obviously there are more numbers in the harmonic sequence than there are in the 'odds only' sequence." Nope. There are exactly the same number. Here's the proof. I can set up a between the whole numbers and the odd numbers. Observe. (I will have to play with the format of the numbers to get them to line up correctly on a computer screen, however.)

0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, …
0 1, 0 3, 0 5, 0 7, 0 9, 11, 13, 15, 17, …

This can go on forever. Which means there are exactly the same number of odd numbers as there are whole numbers. Both the whole numbers and the odd numbers are examples of sets.

There are an infinite number of possible wavelengths that can form standing waves under all of the circumstances described above, but there are an even greater number of wavelengths that can't form standing waves. "What? How can you have more than an infinite amount of something?" Well I don't want to prove that right now so you'll have to trust me, but there are more between 0 and 1 than there are whole numbers between zero and infinity. Not only do we have all the less than one ( 1 2 , 3 5 , 733 2741 , etc.) we also have all the possible (√2, 7 − √13, etc.) and the whole host of bizarre (π, e, e π , Feigenbaum's number, etc.). All of these numbers together form an set called the . The number of whole numbers is an infinity called ( ℵ0 ) the number of real numbers is an infinity called в (for ). The study of infinitely large numbers is known as . In this field, it is possible to prove that ℵ0 is less than в. There is no one-to-one correspondence between the real numbers and the whole numbers. Thus, there are more frequencies that won't form standing waves than there are frequencies that will form standing waves.


How to tell if a central element in a molecule needs to form hybridized orbitals?

Diatomic molecules will always point compatible #sigma# bonding orbital lobes along the internuclear axis, and be able to pair compatible orbitals, so there is no hybridization in molecules like #"HCl"# , #"NO"^(+)# , #"Cl"_2# , etc.

An easy way to tell when an atom has to hybridize is to count the number of surrounding atoms. I've listed examples below. Essentially:

  • Octahedral electron geometry? #sp^3d^2#
  • Trigonal bipyramidal electron geometry? #sp^3d#
  • Tetrahedral electron geometry? #sp^3#
  • Trigonal planar electron geometry? #sp^2#
  • Linear polyatomic electron geometry? #sp#

HYBRIDIZATION IN WATER

Oxygen in #"H"_2"O"# has to contribute четири #sp^3# -hybridized atomic orbitals to bond because:

  1. It is bonding to more than one hydrogen. That tells you that hybridization can occur.
  2. It is bonding in a non-horizontal direction to at least one hydrogen. That tells you that hybridization should occur to orient all the orbitals correctly.
  3. It is bonding identically to each hydrogen. That tells you that hybridization has occurred to make the orbitals compatible.

It is #sp^3# because четири electron groups are surrounding oxygen: двајца bonding to one hydrogen each, and двајца lone pairs not bonding at all.

Oxygen had to hybridize one #2s# and three #2p# orbitals together to generate четири diagonal-oriented orbitals in three dimensions ( #x,y,z# ). Two of them could be used, but are not being used.

HYBRIDIZATION IN BH3

Boron in #"BH"_3# has to contribute тројца #sp^2# -hybridized atomic orbitals to bond because:

  1. It is bonding to more than one hydrogen. That tells you that hybridization can occur.
  2. It is bonding in a non-horizontal direction to at least one hydrogen. That tells you that hybridization should occur to orient all the orbitals correctly.
  3. It is bonding identically to each hydrogen. That tells you that hybridization has occurred to make the orbitals compatible.

It is #sp^2# because тројца electron groups are surrounding boron: тројца bonding to one hydrogen each, and еден empty #p_z# orbital from boron that isn't compatible with hydrogen's #1s# atomic orbital. It isn't using that one to bond at the moment.

Boron had to hybridize one #2s# and two #2p# orbitals together to generate тројца diagonal-oriented orbitals in two dimensions ( #x,y# ).

HYBRIDIZATION IN ACETYLENE

One chosen carbon in #"H"-"C"-="C"-"H"# has to contribute двајца #sp# -hybridized atomic orbitals to bond because:

  1. It is bonding to more than one atom. That tells you that hybridization could occur.
  2. It is NOT bonding in a non-horizontal direction with any atoms. This doesn't tell you anything about hybridization.
  3. It is NOT bonding identically to each surrounding atom (the other #"C"# and a #"H"# ). That tells you that hybridization had to occur to make the orbitals of #"C"# and #"H"# compatible. Naturally, #"C"# is compatible with itself, so hybridization is necessary to bond with BOTH #"C"# and #"H"# .

It is #sp# because двајца electron groups are surrounding one chosen carbon: еден bonding to one hydrogen and еден bonding to the other carbon.

Carbon had to hybridize one #2s# and one #2p# orbital together to generate двајца horizontally-oriented #sp# hybridized orbitals in one dimension to #sigma# bond to two different atoms.

Separately, the remaining two bonds to be made to the other carbon (one triple bond has one #sigma# and two #pi# bonds) are made using the #p_x# and #p_y# atomic orbitals of carbon.

So, with acetylene, carbon is using двајца #sp# hybridized atomic orbitals and еден #2p_x# and еден #2p_y# atomic orbital to bond.


Guidance on Kepler's Laws

Teaching Guidance for 14-16

When Tycho Brahe was 17, he observed the conjunction of Jupiter and Saturn and was dismayed to find that the astronomical tables of the time were inaccurate in predicting the event by as much as a month. He decided to devote his life to making better tables, for which purpose he constructed better and better instruments.

The birth of modern planetary astronomy, with the three planetary laws discovered by Kepler, was based on the precise observations resulting from Tycho Brahe’s passion for accuracy.

Kepler: Law-giver of the heavens

In the course of his lifetime, Kepler extracted the three great planetary laws which we now call by his name.

  • The orbit of each planet is an ellipse with the Sun at one focus.
  • The arm from the Sun to a planet sweeps out equal areas in equal periods of time. If you mark the position of a planet once a month on its elliptical orbit, and draw radii from the Sun to those points, the areas of sectors between those radii are all equal.
  • If for each planet you take an average radius, Р. , and the time, Т. , the planet takes to go once round its orbit (its year) then the ratio Р. &thinsp3 Т. &thinsp2 is the same for all planets

The third law, which binds the movements of the planets together mathematically, Kepler discovered, with tremendous delight, quite late in life.

Mapping the Earth’s orbit in space and time

To map the Earth’s orbit around the Sun on a scale diagram you need many sets of measurements, each set giving the Earth’s bearings from two fixed points. Kepler took the fixed Sun for one of these and for the other he took Mars at a series of times when it was in the same position in its orbit.

Kepler proceeded thus: he marked the ‘position’ of Mars in the star pattern at one position (opposite the Sun, overhead at midnight). That gave him the direction of a base line, Sun – Earth – Mars, SE1M. Then he turned the pages of Tycho’s records to a time exactly one Martian year later. (The time of Mars’ motion around its orbit was known accurately from records over many centuries).

Kepler s Scheme to plot the Earth s orbit.

Then Kepler knew that Mars was in the same position, M, so that SM had the same direction. By now, the Earth had moved on to E2 in its orbit. Tycho’s record of the position of Mars in the star pattern gave him the new apparent direction of Mars E2 M and the Sun’s position gave him E2 S. Then he could calculate the angles of the triangle SE2M from the record thus: since he knew the directions E1 M and E2 M (marked on the celestial sphere of stars) he could calculate angle A between them. Since he knew the directions E1 S and E2 S he could calculate angle B. Then on a scale diagram he could choose two points to represent S and M and locate the Earth’s position,E2 as follows.

At the ends of the fixed base line SM, draw lines making angles A and B and mark their intersection E2 . One Martian year later he could find the directions E3 M and E3 S from the records and mark E3 on his diagram. Thus Kepler could start with the points S and M and locate E2 ,E3 ,E4 . enough points to show the orbit’s shape.

Knowing the Earth’s true orbit he could invert the investigation and plot the shape of Mars’ orbit. He found that he could treat the Earth’s orbit either as an eccentric circle or as slightly oval but Mars’ orbit was far from circular: it was definitely oval. It was an ellipse with the Sun at one focus – Kepler’s First Law of planetary motion.

Planetary data and Kepler’s Third Law

Kepler continued to brood on one of his early questions: what connection is there between the size of the planet’s orbit and the times of its year ?

Students can try and investigate the relationship between the planetary orbit radius, Р. , and the orbital time, Т., using modern data. These are more accurate than the data available to Kepler. It will become obvious, fairly quickly, that simple proportion will not do. For example as Р. almost doubles in going from Mercury to Venus, Т., almost triples as Р. grows almost 10 times from Earth to Saturn, Т. , grows about 30 times.

Kepler wrestled with this for a very long time, trying different combinations, until he found that Р. &thinsp3 Т. &thinsp2 was a constant. Kepler was overjoyed!

His three laws were clear, simple and powerful and they fitted the facts very accurately. He earned the title law-giver of the heavens .

Resources

Data for the planets, for Jupiter’s moons and for objects orbiting the Earth can be downloaded here.