Астрономија

Пресметување на стапката на распаѓање на орбитата

Пресметување на стапката на распаѓање на орбитата


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Знаеме дека проценетото време додека не се спои бинарен систем е дадено од: $ $ dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ $ Но, која е формулата за одредување на стапката на распаѓање, во некој вид единица за растојание, по единица време? Исто така, што се поими $ r $ и $ m_i $ напишано во?


Ова е одговор на барањето на FasterThanLight за решение за затворена форма. Се обидов да одговорам во коментар, но се покажа дека е премногу долго.

Можеме ли да го знаеме растојанието помеѓу двете бинарни starsвезди во кое било време t?

Од одговорот на ProfRob,

$ $ frac {da} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5a ^ 3} $ $

Ако сакате решение за затворена форма, можеме да го препишеме горенаведеното како диференцијална равенка

$$ a '= C_1a ^ {- 3} $ $

каде што постојаната $ C_1 = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $. Ако растојанието помеѓу бинарните starsвезди на време $ t = 0 $ е $ a_0 $, тогаш $ a (0) = a_0 $ е почетната вредност. Решението за диференцијалната равенка со почетната вредност е:

$$ a (t) = (a_0 ^ 4 + 4C_1t) ^ {1/4} $ $

Значи, решението за затворена форма или растојанието помеѓу starsвездите во времето t е дадено со:

$$ a (t) = лево (a_0 ^ 4- dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} t десно) ^ {1/4} $$

Уредување:

Ние исто така можеме да дојдеме до решение за затворена форма $ a (t) $ со препознавање на тоа $ tau a ^ 4 $, каде $ tau = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ е време за одбројување за спојување, односно времето за одбројување се намалува како што одминува времето. Ова значи за бинарен систем во $ a_0 $ растојание во некое почетно време $ t = 0 $, ќе потрае $ tau a_0 ^ 4 $ време за спојување. Па време $ t = tau a_0 ^ 4 - tau a ^ 4 $ правилно опишува зголемување на времето и намалување на растојанието за почетно време и растојание. Решете ја оваа алгебарска равенка за $ a $ да се добие:

$ $ a (t) = лево (a_0 ^ 4 - frac {t} { tau} десно) ^ {1/4} $ $

Ова е еквивалентно на мојот друг одговор, но се користи многу поедноставен метод. Намерно ја користев истата нотација што ја користи ProfRob во неговиот одговор, но не можам да објаснам зошто нашите одговори се различни.


За кружна орбита можете да ја напишете стапката на промена на полу-главната оска на орбитата $ a $ како што $ $ frac {da} {dt} = - frac {64 G ^ 3 (m_1 + m_2) m_1m_2} {5a ^ 3c ^ 5} . $ $

Компонентите во формулата може да се запишат во какви и да сакате единици; малку секако дека ќе ги одреди единиците на $ да / дт $.

Ако сакате временска зависност од $ a (t) $, $ омега (т) $ па дури и периодот на орбитата $ T (t) $, тие се (со едноставна интеграција) $ $ a (t) = a_0 лево (1 - frac {t} { tau} десно) ^ {1/4} ,, $ $ $ $ омега (t) = омега_ {0} лево (1 - frac {t} { tau} десно) ^ {- 3/8} $ $ $ $ T = frac {2 pi} { omega} = T_0 лево (1 - frac {t} { tau} десно) ^ {3/8} ,, $ $ каде $ tau $ е оригиналната временска рамка на спојување со која започнавте, и каде што потписот се однесува на вредностите на $ t = 0 $.


Еве еден начин да стигнете до одговорот на ProfRob чекор по чекор:

$ $ t = dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ $

Ако ги собереме сите постојани термини заедно:

$ $ C = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ $

тогаш проблемот одеднаш изгледа многу поедноставно:

$ $ t = r ^ 4 C $ $

$ $ frac {dt} {dr} = 4r ^ 3 C $ $

$ $ frac {dr} {dt} = frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $ $

$ dt $ е колку подолго системот ќе живее ако почетниот радиус е зголемен од страна на $ dr $. Знаеме дека ако гледаме како се распаѓа, стапката на намалување по единица време $ dr / dt $ ќе биде негативно, па ќе додадеме знак минус.

Сега повторно постави заедно:

$ $ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $ $

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $ $

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {r ^ 3} dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $ $

$ $ frac {dr} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5r ^ 3} $ $

Со гравитациона константа $ G = 6,6674 пати 10 ^ {- 11} текст {m} ^ {3} текст {kg} ^ {- 1} текст {s} ^ {- 2} $ брзината на светлината $ c = 2,997 пати 10 ^ {8} текст {m / s} $ секое тело со сончева маса $ M _ { текст {Сол}} = 1,9885 пати 10 ^ {30} текст {кг} $ и скоро трогателно одвојување од милион километри $ r = 1 пати 10 ^ {9} текст {m} $, тогаш $ C = 1,0102 пати 10 ^ {- 20} $ и стапката $ dr / dt = -2,4748 пати 10 ^ {- 8} текст {s} ^ {- 1} $ или -78 сантиметри годишно.


Погледнете го видеото: 15- годишно момиче с перфоративна травма на очната ябълка (Декември 2022).